La philosophie des mathématiques

L’alliance entre la philosophie et les mathématiques est ancienne. Depuis Pythagore et Platon, la liste des mathématiciens-philosophes s’écrit avec Descartes, Pascal, Leibnitz, Poincaré jusqu’à Husserl à la fois Docteur en mathématiques et en philosophie. Kant définissait les mathématiques (et la physique) comme un modèle pour la connaissance.
Pourtant elles ne disent rien sur le monde physique, la société, notre existence et notre intériorité.
Pascal a même fini par rompre sa carrière de mathématicien-physicien pour s’intéresser à l’intériorité de l’homme en redécouvrant le cœur, ce qu’il semblait avoir perdu. Wittgenstein considérait que les mathématiques n’apportaient rien à la philosophie. Pour le profane, elles suscitent à la fois admiration et rejet. Elles semblent coupées du « monde » de la quotidienneté comme des questions métaphysiques sur l’existence. Le mathématicien s’il suscite le respect sera souvent perçu comme un malade autiste asocial à qui il manque beaucoup de dimensions si ce n’est l’essentiel même si ce jugement comporte une part de ressentiment. Le prix à payer de son génie semble très lourd puisqu’il doit s’immerger dans un univers propre qui le coupe du restant de la population jusqu’à la schizophrénie. La compensation est le sentiment d’appartenir à une caste à part des humains et osons le mot d’éprouver une certaine « supériorité ».
Les différentes philosophies des mathématiques
Les mathématiciens adhèrent à des courants philosophiques liés à leur discipline.
1/ Le Platonisme ou le réalisme
Pour ce courant, les objets mathématiques sont aussi réels que les objets inanimés ou vivants.
Le tertium non datur (le tiers exclu) est un principe de sa logique bivalente. La notion d’ensemble est essentielle. Cette vision est partagée par les mathématiciens comme Hermite ou Lautman.
« … les nombres entiers me semblent exister en dehors de nous et en s’imposant avec la même nécessité, la même fatalité que le sodium, le potassium… » (Charles Hermite)
2/ Le formalisme a été conçu par David Hilbert.
Les mathématiques sont une construction de l’esprit qui reposent sur leur cohérence interne. Il ne doit pas y avoir de contradiction.
Le formalisme a été repris par Bourbaki et l’a poussé à l’extrême, c’est-à-dire une abstraction totale. N’existe en mathématiques que ce qui est écrit, ce qui s’oppose au platonisme.
Sous l’influence de Bourbaki, dans les années soixante et soixante dix, dans l’enseignement des mathématiques on a refusé l’usage des figures.
Gôdel a mis en évidence l’échec du formalisme de Hilbert. Toute théorie contient des résultats vrais mais non démontrables.
3/ Le constructivisme
Les objets mathématiques n’existent que dans la pensée du mathématicien à la différence du platonisme. Le texte écrit n’a de sens que par un lecteur mathématicien qui l’interprète. Le raisonnement par l’absurde est non admis. Cette position est assez minoritaire.
4/ L’intuitionnisme
L’intuitionnisme est assez proche du constructivisme. Il n’accepte pas aussi le raisonnement par l’absurde. Cette école a été développée par Brouwer et Heyting.
Chez Brouwer, on a des énoncés mathématiques qui ne sont pas valides en logique classique. La logique intuitionniste a formalisé des principes logiques. Pour Jean Dieudonné, ce courant ne représente pas 1% des mathématiciens.
5/ Le logicisme (Frege, Russel…)
Pour Frege, les mathématiques sont réductibles à la logique. Russel a trouvé des paradoxes dans la théorie des ensembles. L’anglais poursuivra avec Whitehead les travaux sur la logique. Le second théorème de Gôdel « tuera » le logicisme. Citons Frege « Tout bon mathématicien est au-moins à moitié un philosophe, et tout bon philosophe est au-moins à moitié mathématicien ».
Les mathématiques : langage de la science ?
Avec la sacralisation des mathématiques par les scientifiques, introduire des équations mathématiques dans un domaine d’étude donne du sérieux à la matière comme cela se passe par exemple pour les « sciences » économiques ;
René Thom considérait qu’à part la physique, l’utilisation des mathématiques est assez pauvre et élémentaire.
En chimie, on utilise beaucoup la règle de trois dans l’enseignement secondaire et même au-delà. Lorsque les mathématiques deviennent plus complexes cela ne décrit guère ce qui se passe ou alors de façon assez grossière. La biologie utilise aussi très peu les mathématiques. Ce langage étant devenu le langage de la science ou tout au-moins de la physique, toute quantification d’un savoir sera considérée comme une plus-value car plus opératoire. Les partisans de l’utilisation des mathématiques diront que de toute façon il existait déjà une distorsion entre le langage ordinaire et le monde physique ou celui de tout domaine d’étude.
Les mathématiques dans la physique
Les mathématiques et la physique sont intrinsèquement liées en dépit du purisme de certains mathématiciens. Il a existé du temps d’Aristote une physique qualitative. On peut même énoncer certains principes physiques sans recouvrir aux mathématiques comme le principe d’Archimède : « Tout corps plongé dans un liquide subit une poussée dirigée de bas en haut égale au poids du volume du liquide déplacé ».
La physique moderne a quasiment totalement exclu le langage naturel.
« … le langage ordinaire est trop pauvre, il est d’ailleurs trop vague, pour exprimer des rapports si délicats, si riches et si précis... ». (Henri Poincaré).
Heisenberg ne voyait dans les formules mathématiques non la vérité du monde mais la connaissance que nous en possédons ; nous pourrions dire un modèle.
En tout cas, l’utilisation des mathématiques dynamise la physique. En mécanique quantique, l’intuition faisant défaut, le physicien se « contente » de ses formules mathématiques. Pour des physiciens orthodoxes, la physique se trouve dans les équations. C’était la position d’Einstein qui voyait dans les mathématiques la compréhension possible du monde.
« Nous avons le droit d’être convaincus que la nature est la réalisation de ce qu’on peut imaginer de plus simple mathématiquement ». Il y avait chez lui un acte de foi venant tout droit de la pensée grecque pour qui le monde est explicable en dehors des mythes et des religions.
Conclusion
Les mathématiques sont elles faites uniquement pour elles-mêmes comme le soutiennent les membres de Bourbaki ? Jean Dieudonné a écrit un livre sur ce thème : « Pour l’honneur de l’esprit humain ». Ce point de vue flatte l’égo des mathématiciens. Savoir si elles existent seulement une fois démontrées comme le soutiennent les anti-platoniciens ou hors de nous semble de peu de conséquence sur la pratique des mathématiques. Leur utilisation dans les différents domaines du savoir n’est pas neutre. Elles « objectivent » et donnent une vision mécanique des phénomènes et dessèchent le monde de la vie ou le monde premier.
La critique phénoménologique de la mathématisation du monde et de la perte de sens pour l’homme occidental a été extrêmement forte au XXème siècle. Husserl a voulu revenir au monde de la vie, le monde premier débarrassé de sa gangue mathématique et analyser la constitution de l’objet par nos actes de conscience.
Dans la Krisis, Husserl écrit que Galilée a été à la fois découvrant et recouvrant. La crise de la raison qu’avaient aperçu Husserl et d’autres n’est elle pas que le contrecoup d’une « Science » objectivante qui ne donne pas sens au monde et n’aboutissant qu’au nihilisme.
Patrice Gros-Suaudeau

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